我们知道，复数的1种表达形式是a+bi，那么，对任意复数a+bi进行开根号运算，会得到什么结果呢？

要解决这个问题，首先要先对复数a+bi添加1个条件：b≠0   原因是：当b=0是，最后的结果没有意义，而且本来对于1个实数开根号也可以直接算，不需要进行以下推导了。

(相关资料图)

因为任何复数都可以写成1个实数与1个虚数的和的形式，所以我们不妨先设（c+di）²=a+bi

展开（c+di）²后得到的是c²-d²+cdi，显然，c²-d²是实数，cdi是虚数，于是，我们便可以列出以下关于c，d的二元二次方程组：

由cd=b/2可得d=b/(2c)，这样一来，我们就轻易地用含c的式子表示d了！

将d=b/(2c)代入c²-d²=a得：

两边同时乘4c²，将得到的这个关于c的分式方程化为整式方程，得：

虽然这是关于c的一元四次方程，但是它既没有三次项有没有一次项，于是，我们令t=c²，代入这个一元四次方程，得：

这样，我们就得到了关于t的一元二次方程，直接用一元二次方程的求根公式得到t的值：

因为a，b，c和d都是实数，前面我们令t=c²，所以t不能小于0。又因为t₂恒小于0，所以要舍去t₂。

将t₁代入t=c²，再将得到的c₁和c₂分别代入d=b/(2c)就可以得到这个二元二次方程组的2组解了：

注：d本来是分母有根号的，化简的时候分母最终是√（4b²），由于b可以是任何实数，1个实数平方再开方不直接等于那个数，而是等于它的绝对值，因此d最后会有绝对值，上下2个b不能约掉。此时对于任何非零、0实数b，都有|b|/b=b/|b|，因此带有绝对值的b也可以放到分子。

因为复数没有正负之分，所以得到的2组解都保留，最后，就可以得到这个公式了：

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